C’est un classique des probabilités :



Je vais essayer d’expliquer du mieux que je peux



Soit les pièces numérotées de 1 à 12 (on prend les pièces en vrac et on leurs donnes un chiffre qu’ils garderont tout au long de l’opération )



Rappelons que nous avons une balance de « ROBERVAL » ce qui veut dire que c’est une balance munie de deux plateaux, qui nous permettent de comparer le poids de chacun des objets qui se trouvent sur les deux plateaux. Si c’est le plateau droit qui est plus lourd, l’aiguille va virer à droite, si c’est le plateau gauche qui est plus lourd, l’aiguille vire à gauche, si les poids sont égaux, alors l’aiguille reste au milieu.





Quelque convention pour comprendre

Le signe | veut dire que je pèse deux objet (ou groupe d’objet) chacun dans un plateau

Le signe > signifie que l’aiguille de la balance vire à droite

Le signe < signifie que l’aiguille de la balance vire à gauche

Le signe = signifie que l’aiguille de la balance reste au milieu



On y vas !





Première pesée



1,2,3,4 | 5,6,7,8



Résultats possibles de la première pesée:



1,2,3,4 = 5,6,7,8

1,2,3,4>,5,6,7,8

1,2,3,4<5,6,7,8



Si 1,2,3,4 = 5,6,7,8 Alors on est sûr qu’il n’y a pas de fausse pièce



Deuxième pesée :

1,2,3 | 9,10,11



Résultats possibles de la deuxième pesée:



1,2,3=9,10,11

1,2,3>9,10,11

1,2,3<9,10,11



Si 1,2,3=9,10,11 alors pas de fausse pièce



Troisième pesée :

1 | 12



Résultats possibles de la troisième pesée:



1=12 donc pas de fausse pièce

1>12 donc la 12 c’est une fausse pièce et + lourde

1<12 donc la 12 c’est une fausse pièce et – lourde



Remarque : nous avons choisi la pièce 1 prsq qu’on sait qu’elle n’est pas fausse sur la base des autres hypothèses, on aurait pus prendre la 2 ou la 3, puisque sur la base des hypothèses précédente on sait que les pièces 1,2,3……11 ne sont pas fausses.



Revenons à la deuxième pesée, nous avons traité un cas celui ou 1,2,3=9,10,11

Traitons maintenant le deuxième cas :



Si 1,2,3>9,10,11 alors la fausse pièce est dans 9,10,11



Troisième pesée :

9 | 10



Résultats possibles de la troisième pesée:

9=10 donc la 11 est + lourde

9>10 donc la 10 est + lourde

9<10 donc la 9 est + lourde





Revenons à la deuxième pesée nous allons traiter la dernière hypothèse :



Si 1,2,3>9,10,11 alors la fausse pièce est dans 9,10,11

(car selon la première hypothèse les pièces 1,2,3 ne sont pas fausses)



Troisième pesée :

9 | 10

Résultats possibles de la troisième pesée:

9=10 donc la 11 est + légère

9>10 donc la 9 est + légère

9<10 donc la 10 est + légère



Voilà, donc nous avons traité tous les cas possibles de la première hypothèse de la première pesée selon laquelle 1,2,3,4 = 5,6,7,8



Passons maintenant à la deuxième hypothèse de la première pesée



Si 1,2,3,4>5,6,7,8



Deuxième pesée :

1,2,3,5 | 4,9,10,11



Résultats possibles de la deuxième pesée:



1,2,3,5 = 4,9,10,11

1,2,3,5 > 4,9,10,11

1,2,3,5 < 4,9,10,11



Si 1,2,3,5=4,9,10,11 alors



Troisième pesée :

6|7



Si 6=7 donc la 8 + lourde

Si 6>7 donc la 7 + lourde

Si 6<7 donc la 6 + lourde



Si 1,2,3,5>4,9,10,11 alors



Troisième pesée :

1|2



Si 1=2 donc la 3 + légère

Si 1>2 donc la 1 + légère

Si 1<2 donc la 2 + légère



Si 1,2,3,5<4,9,10,11 alors

Troisième pesée :

4|9



Si 4=9 donc la 5 + lourde

Si 4>9 donc la 4 + légère

Si 4<9 –Impossible –



Passons maintenant à la troisième hypothèse de la première pesée



Si 1,2,3,4 < 5,6,7,8



Deuxième pesée :



1,2,3,5 | 4,9,10,11



Résultats possibles de la deuxième pesée:



1,2,3,5 = 4,9,10,11

1,2,3,5 > 4,9,10,11

1,2,3,5 < 4,9,10,11



Si 1,2,3,5 = 4,9,10,11



Troisième pesée :

6|7



Si 6=7 donc la 8 + légère

Si 6>7 donc la 6 + légère

Si 6<7 donc la 7 + légère



Si 1,2,3,5 > 4,9,10,11



Troisième pesée :

4|9



Si 4=9 donc la 5 + légère

Si 4>9 –Impossible –

Si 4<9 donc la 4 + lourde



Si 1,2,3,5 < 4,9,10,11



Troisième pesée :

1|2



Si 1=2 donc la 3 + lourde

Si 1>2 donc la 2 + lourde

Si 1<2 donc la 1 + lourde



Il y a une autre méthode celle de la pièce temoin, amis ce n'ai pas ce que tu voulais ! et il y a même quelques lois de probabilité(déductives) pour trouver le nombre minimum de pesée



Et voilà nous avons fait toutes les possibilités, si tu n’a pas compris quelque chose tu me le dit et je te l’explique, ce problème se comprend mieux sous la forme d’un schéma (type arbre)

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Explications suite à une question :

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"Pourquoi après avoir fait 1234 | 5678 tu passes à 1235 | 4-9-10-11 ?"

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D’accord je vois !

Ce ne n’est pas le choix des chiffres eux même qui est important, mais le groupe auquel ils appartiennent, c’est des probabilités



Je m’explique



1 2 3 4 | 5 6 7 8 c’est la première pesée et 1 2 3 5 | 4 9 10 11 c’est la deuxième pesée en cas ou la première pesée donne l’un résultat 1 2 3 4 > 5 6 7 8 ou 1 2 3 4 < 5 6 7 8



Dans la première pesée :

1234 | 5678



Dans la première pesée



Si 1 2 3 4 > 5 6 7 8



On est d’accord pour dire que les pièce 9,10,11,12 ne sont pas fausses, puisque en leurs absences de la balance cette dernière à viré à droite, et si elle a viré à droite c’est que la pièce ce trouve dans l’un des groupe : 1 2 3 4 ou 5 6 7 8 et puisque il y a une seule fausse pièce donc, les pièces 9,10,11,12 ne peuvent pas être fausses !



Deuxième pesée :

Le principe de la deuxième pesée est simple :



Dans le premier groupe (1 2 3 4) on garde 3 éléments et on leur ajoute un élément du deuxième groupe (5 6 7 8) tu peux choisir celui que tu veux !



Dans le deuxième groupe, on prend un élément du premier groupe et on ajoute 3 éléments dont on est sûr que ce ne sont pas de fausses pièces, dans notre cas ce sera l’un des trois quatre éléments (9 10 11 12)



Donc d’une part on retrouve 3 éléments du premier groupe déjà utilisé lors de la première pesée + un élément du deuxième groupe déjà utilisé dans la première pesée



De l’autre part, on retrouve un élément du premier groupe déjà utilisé lors de la première pesée + 3 éléments jamais utilisé mais dont on est sûr que ce ne sont pas de fausses pièce prsq lors de la première pesée la balance à penché sans leur présence !



Donc sa nous laisse le choix, mais le résultat sera le même ! après avoir exploiter toutes les combinaisons biensur



Tu peux essayer :



Première pesée :

1 2 3 4 | 5 6 7 8

Si 1 2 3 4 > 5 6 7 8



Les possibilités pour la deuxième pesée sont :



1 2 3 6 | 4 9 10 12



ou



1 3 4 7 | 2 10 11 12



ect … toute les combinaisons son bonnes, le résultat sera le même une fois toutes les hypothèses exploiter !



Juste à titre d’exemple pour expliquer le raisonnement :



Première pesée :

1 2 3 4 | 5 6 7 8



Si 1 2 3 4 > 5 6 7 8



On prend cette possibilité pour la deuxième pesée :

1 2 3 6 | 4 9 10 12



D’une part On a garder 3 éléments du premier groupe de la première pesée

qui sont (1 2 3) et on a ajouter un élément du deuxième groupe de la première pesée qui est 6



D’une autre part, on a pris un élément du premier groupe de la première pesée qui est le 4 et les reste c’est des éléments qu’on a pas encore utilisé et on est sure que se ne sont pas de fausse pièces car la balance à penché en leurs absence lors de la première pesée et on sais qu’il n’y a qu’une seule fausse pièce



On y va :



Donc Deuxième pesée c’est

1 2 3 6 | 4 9 10 12



Si 1 2 3 6 = 4 9 10 12



Analyse :



On est sûr que 9 10 12 ne sont pas de fausses pièces.

Et pareil 1 2 3 6 ne sont pas de fausses pièces

Donc on regarde la première pesée on retient les éléments qui sont susceptible d’âtre la fausse pièce :



Voici les éléments de la première pesée

1 2 3 4 5 6 7 8

Voici les bonnes pièces

1 2 3 4 6 9 10 12



il reste 5 7 8 c’est les pièces suspectes



Troisième pesée



On prend les pièces suspectes qui font partie du même groupe lors de la première pesée



5|7 par exemple :



SI 5>7 cela veut dire que 5 est plus lourds que 7 et puisque la balance à virer du coté de ce groupe alors il y a une pièce qui est plus lourde que les autres (puisqu’on sait que le premier groupe est bon donc il ne peut pas s’agir d’une pièce plus légère dans le premier groupe) et puisque 5 est plus lourde que 7 et qu’il n y a qu’une seule fausse pièce alors c’est forcément la 5 qui est plus lourde !



SI 5<7 même raisonnement, donc c’est la 7 qui est plus lourde

SI 5=7 alors il reste la 8 qui est suspecte et puisque lors de la première pesée la balance à virer vers son groupe alors elle est plus lourde que les autres !



Voilà …. Et c’est la même chose pour le reste !!!

J’espère que j’ai été assez clair, si il y a une zone d’ombre tu me le dit !



Ohh la la que les maths sont dures à expliquer ! mais c’est logique une fois qu’on a compris !



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Au Passage pour "laloose" ta solution n'est pas bonne le principe est d'obtenir le resultat avec 3 pesées seulement, tu en a fait 5 !



Première pesée : 2 groupe de 6 on compare;

Deuxième pesée : on permute 3 pieces d'un plateau avec 3 pieces de l'autre;

Troisième pesée : on enleve une piece sur chaque plateau;

Quatrième pesée : on permute une pieces entre le plateau droit et le gauche;

Cinquième pesée : on en pese une avec une des pieces 10 autre pieces ;

je n'ai que 13 ans mais je sais et c'est très difficile de l'expliquer comme ça

alors comme il y a 12 boules je les partages je mets 6 sur un plateau et 6 sur le 2e plateau

je prend le paquet de six qui est le plus leger c'est a dire qui monte

puisu'il y a 6 boule je les partage en 2 donc je met 3 boule sur un plateau et trois boule sur l'autre plateau je prend le groupe de trois le plus leger c'est a dire qui monte

ensuite je met parmis les 3 boules 1 sur un plateau et une autre sur l'autre plateau et j'en garde 1

si les 2 plateau son egaux la plus legere est celle que j'ai gardée parmi les 3 si le plateau penche je prend la boule qui monte et c'est la plus legere voila c la solution c obliger

J'ai juste passé un coup d'oeil

2 groupe de 6

on compare

on permute 3 pieces d'un plateau avec 3 pieces de l'autre

si l'equilibre reste le meme les 6 pieces permutées sont vraie et on s'en desinteresse(on les enleve)

si l'equilibre s'inverse les 3 pieces qui n'ont pas bougées sont vraie et on s'en desinteresse(on les enleve)



on enleve une piece sur chaque plateau que l'on met de cote, on permute une pieces entre le plateau droit et le gauche:



si l'equilibre ne bouge pas : les deux pieces enlevées etaient de meme poids et les deux pieces permutées aussi , la pieces fausses et donc une des deux qui n'ont pas bougé



si l'equilibre s'inversse :

les deux pieces enlevées etaient de meme poids et les deux pieces n'ont pas bougéaussi , la pieces fausses et donc une des deux qui n'ont été permutéess



si la balance est en equilibre c'est que c'est l'une des deux pieces que l'on a mis de cotées qui est fausse



a ce niveau il nous reste deux pieces suspects

on en pese une avec une des pieces 10 autre pieces

si elles ont le meme poids c'est que la pieces fausse est celle qui reste, si leur poids est different , c'est que c'est celle que l'on vien de peser qui est fausse.........



pfiouuuuuuuuuu po facile.........

Voici la solution en 3 pesées, en sachant le poids normal d'une pièce (disant 1kg).

1ère pesée : on prend 10pièces et on pèse 5/5, s'il sont égaux, la fausse pièce est dans les deux qui restent, et nous avons encore 2 pesées. sinon...

2ème pesée : on prends les 5 qui pèsent plus de 5kg (ou moins de 5kg), on en prends 4 et les pèse à 2/2, s'il sont égaux la cinquième est fausse. sinon...

3ème pesée : on prends les 2 qui pèsent plus de 2kg (ou moins de 2kg), et on fait la dernière pesée. Voilà.

Dès la 2ème pesée on saura si la fausse est plus lourde ou moins lourde.

Appelons les boules 1,2, ... , 12 , et t toute boule témoin, identifiée lors d'une étape comme n'étant pas la boule cherchée.

Première pesée : 1 2 3 4 est comparé à 5 6 7 8

A. Equilibre. Deuxième pesée : 9 10 <> 11 t

Si équilibre, 12 est "coupable", et on détermine son poids (plus lourd ou plus léger ) avec t .

Si 9 10 > 11 t , troisième pesée : 9 <> 10 ( puisque soit 9 est plus lourd, soit 10 est plus lourd, soit 11 est plus léger )

B. 1 2 3 4 < 5 6 7 8 Deuxième pesée : 1 2 5 <> 3 6 t

Si équilibre, troisième pesée : 7 <> 8

SI 1 2 5 < 3 6 t , troisième pesée 1<> 2

Si 1 2 5 > 3 6 t , troisième pesée 5<> t

C. 1 2 3 4 > 5 6 7 8 Procéder comme en B

c'est bien dommage qu'on ne sache pas si elle est + lourde ou non...sinon ça aurait relativement simple

je m'y mets de suite!

peut être en invoquant un djin

Moi je dis que c'est l'heure de l'apéro et que je réfléchirai ensuite !

Appelons les boules one million, 2, ... , 10, et t toute boule témoin, identifiée lors d'une étape comme n'étant pas l. a. boule cherchée. Première pesée : one million,2,3,4 est comparé à 5,6,7,8 A. Equilibre. Deuxième pesée : 9,10 est comparé à t,t. Cela nous indique "plus lourd ou plus léger". Troisième pesée: 9 est comparé à t. B. one million,2,3,4 < 5,6,7,8 Deuxième pesée : one million,2,5 est comparé à 3,6,t Si équilibre, troisième pesée : 7 est comparé à 8. Equilibre=4 est plus léger; déséquilibre= 7 ou 8 est plus lours. Si one million,2,5< 3,6,t,troisième pesée :one million est comparé à 2. Si déséquilibre, one million ou 2 est plus léger, si équilibre 6 est plus lourd. C. one million,2,3, 4 > 5,6,7,8 Procéder comme en B. On peut résoudre le problème jusque pour 12 boules.

Moi je trouve mais en 4 pesées, pas en trois, ou bien alors avec de la chance...

On sépare en 3 lots de 4 pièces, on met un lot sur chaque plateau de la balance, si c'est équilibré, c'est dans le lot restant qu'est la fausse pièce, si ça ne l'est pas, on remplace un des lots sur les plateaux par le lot restant. Si c'est équilibré, c'est le lot retiré qui contient la fausse pièce.

Une fois le lot identifié, on le partage de nouveau en deux, et on compare, on trouve ainsi le lot de 2 pièces contenant la fausse et il suffit de comparer les 2 pièces.

Balance de Roberval ou pas ?



Sans rire, ça modifie la donne. En effet, une "Roberval" te permet de comparer la masse de deux objets différents (en l'occurrence, des paquets de pièces). Une balance type "de cuisine" ne permet que de peser un seul objet...

j'ai mal à la tête

dsl je me réveille et cé trop dur de réfléchir le matin



bisous